【人教版】初中數學八年級下冊：探索規律：二次根式的乘除法則

二次根式的乘除法則是基於算術平方根的意義與實數運算性質的核心運算規則。本課將透過歸納具體數值的計算結果，引導大家探尋出一般規律：兩個非負數的算術平方根之積（或商）等於這兩個數積（或商）的算術平方根，且該法則具有雙向可逆性。

掌握這一規律不僅僅是為了進行基礎代數計算，更在於深入理解被開方數必須非負以及分母不可為零的嚴密邏輯邊界。這也為未來複雜多變的多項式混合運算鋪平了道路。

一、乘法法則的探究與正逆向應用

正如螢幕右側所顯示的圖解，透過特定數值的驗證，我們可以得出一個極其優美的代數規律。你可以參考 [視覺素材：表格（第6頁）] 用於探索根式乘法性質的計算驗證表 中的對比來加深理解。

一般而言，二次根式的乘法法則為 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$。

公式的正向應用主要用於根式的合併計算。讓我們看看它是如何發揮作用的：

乘法正向合併

例1 計算：(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$；(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

解：

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

乘法逆向拆分

同樣地，其逆向等式 $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ 是將大數或複雜代數式進行拆分與構造的絕佳工具。

例2 化簡：(1) $\sqrt{16 \times 81}$；(2) $\sqrt{4a^2b^3}$

解：

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) 因為 $a^2 \ge 0$，$b^3 \ge 0$ 可知 $b \ge 0$。 $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

二、帶有係數的複合根式乘法

在處理帶有係數或多變量的複雜根式乘法時，需遵循「有理係數乘有理係數，無理部分乘無理部分」的分配原則，這是實數乘法交換律與結合律在根式領域的直接體現。

係數與被開方數的剝離運算

例3 計算：(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$；(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$；(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

解：

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

三、除法法則與邏輯邊界

乘法與除法猶如數學運算的兩面。正如 [視覺素材：表格（第8頁）] 用於探索根式除法性質的計算驗證表 所示，規律具有一致性。

一般而言，二次根式的除法法則為 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$，其逆運算等式為 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$。在此必須強調嚴密的邏輯邊界：分母絕不可為零，因此 $b > 0$！

除法的靈活應用

例4 計算：(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$；(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

解：

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 核心法則歸納

無論是乘法合併、逆向拆分，還是除法化簡，其底層邏輯皆在於化繁為簡，或消除分母上的根號。請將以下核心公式銘記於你的代數工具箱中：

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

題目 1

計算 $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ 的結果是？

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

題目 2

將二次根式 $\sqrt{48}$ 逆向拆分化簡，最正確的結果是？

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

題目 3

在公式 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ 中，對變數 $a$ 和 $b$ 的取值範圍要求是？

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

題目 4

計算 $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ 的結果是？

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

題目 5

計算 $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$ 的結果是？

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

挑戰：公式探究與深度應用

二次根式乘除法則隨堂測試核心題庫

在幾何與實際物理計算中，熟練應用二次根式乘除法則可避免大量小數的繁雜開方運算，確保結果的絕對精確度。接下來我們將透過層層遞進的練習，驗證你對公式正用、逆用以及邏輯邊界的掌握程度。

探究 1

[填空] 計算下列各式，觀察計算結果，你能發現什麼規律？
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$；
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$；
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

詳細解析與參考答案：
(1) 分別開方：$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$；內部先乘再開方：$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(2) 分別開方：$\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$；內部先乘再開方：$\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$。
(3) 分別開方：$\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$；內部先乘再開方：$\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$。
發現的規律：一般而言，二次根式的乘法法則為 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$。

練習 2

[簡答] 練習：1. 計算：(1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$；(2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$；(3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$；(4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

詳細解析與參考答案：
(1) 原式 = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$。
(2) 原式 = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$。
(3) 原式 = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$。故結果為 $\mathbf{2\sqrt{3}}$。
(4) 原式 = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。

探究 3

[填空] 探究：計算下列各式，觀察計算結果，你能發現什麼規律？
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$；
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$；
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

詳細解析與參考答案：
(1) 分別開方：$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$；整體開方：$\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$。
(2) 分別開方：$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$；整體開方：$\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$。
(3) 分別開方：$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$；整體開方：$\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$。
發現的規律：一般而言，二次根式的除法法則為 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$。

綜合 4

[簡答] 習題 16.2 復習鞏固 1. 計算：(1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$；(2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$；(3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$；(4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

詳細解析與參考答案：
(1) 拆分法：$\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$。
(2) 帶符號乘法：原式 = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$。
(3) 連乘合併：原式 = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$，重組即得 $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$。
(4) 提取指數法：原式 = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$。

應用 5

[簡答] [圖片：兩個同心圓] 如圖，兩個圓的圓心相同，它們的面積分別是 $12.56$ 和 $25.12$。求圓環的寬度 $d$（$\pi$ 取 $3.14$，結果保留小數點後兩位）。

詳細解析與參考答案：
已知內圓面積 $S_1 = 12.56$，外圓面積 $S_2 = 25.12$，圓面積公式為 $S = \pi r^2$。運用除法逆向公式可大幅簡化計算過程。
1. 內圓半徑：$r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。
2. 外圓半徑：$r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$。
3. 計算寬度：圓環寬度 $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$。
由於 $\sqrt{2} \approx 1.414$，則 $d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$。
結果保留兩位小數為 $\mathbf{0.83}$。
結論：圓環的寬度 $d$ 約為 $\mathbf{0.83}$。

一、 乘法法則的探究與正逆向應用

二、 帶有係數的複合根式乘法

三、 除法法則與邏輯邊界

一、乘法法則的探究與正逆向應用

二、帶有係數的複合根式乘法

三、除法法則與邏輯邊界